Question

9．设函数f（x）=x（2e^x+ae^-x），（x∈R）是偶函数，则实数a=-2．

Answer 1

分析 由题意可得f（-x）=f（x），整理得（a+2）•x•（1+e^2x）=0．根据x∈R，1+e^2x＞0，可得a+2=0，由此可得a的值．

解答 解：∵函数f（x）=x（e^x+ae^-x），x∈R是偶函数，
∴f（-x）=f（x），即（-x）•（2e^-x+ae^x）=x（2e^x+ae^-x），
整理，得（a+2）•x•（1+e^2x）=0．
∵x∈R，1+e^2x＞0，∴a+2=0，故a=-2．
故答案为：-2．

点评 本题主要考查指数函数的性质应用，偶函数的定义和性质应用，属于中档题．