题目内容
如图,正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a,点M在边 BC上,△AMC1是以点M为直角顶点的等腰直角三角形。
(Ⅰ)求证点M为边BC的中点;
(Ⅱ)求点C到平面AMC1的距离;
(Ⅲ)求二面角M—AC1—C的大小。
(Ⅰ)求证点M为边BC的中点;
(Ⅱ)求点C到平面AMC1的距离;
(Ⅲ)求二面角M—AC1—C的大小。
(Ⅰ)点M为BC边的中点
(Ⅱ)∴点C到平面AMC1的距离为底面边长为
(Ⅲ)二面角M—AC1—C的大小为45°
(Ⅱ)∴点C到平面AMC1的距离为底面边长为
(Ⅲ)二面角M—AC1—C的大小为45°
本试题主要考查了立体几何中,空间点线面的位置关系的运用。第一问中,利用△AMC1为以点M为直角顶点的等腰直角三角形,∴AM⊥C1M且AM=C1M
又因为CC1⊥底面ABC∴C1M在底面内射影为CM,AM⊥CM。所以点M为BC边的中点
二问中,利用作辅助线,表示,即为所求
三问中,过点C作CI⊥AC1于I,连HI,∵CH⊥平面C1AM,作出二面角的大小,然后借助于定义法得到结论。
(Ⅰ)∵△AMC1为以点M为直角顶点的等腰直角三角形,∴AM⊥C1M且AM=C1M
∵三棱柱ABC—A1B1C1,∴CC1⊥底面ABC∴C1M在底面内射影为CM,AM⊥CM。
∵底面ABC为边长为a的正三角形,∴点M为BC边的中点 --------------------4分
(Ⅱ)过点C作CH⊥MC1,由(Ⅰ)知AM⊥C1M且AM⊥CM,
∴AM⊥平面C1CM ∵CH在平面C1CM内,∴CH⊥AM,
∴CH⊥平面C1AM
由(Ⅰ)知,AM=CM=,CM=
∴∴
∴点C到平面AMC1的距离为底面边长为-------------------8分
(Ⅲ)过点C作CI⊥AC1于I,连HI,∵CH⊥平面C1AM,
HI⊥AC1,∠CIH是二面角M—AC1—C的平面角
∴HI为CI在平面C1AM内的射影,
∴HI⊥AC1,∠CIH是二面角M—AC1—C的平面角,在直角三角形ACC1中 ,
∴∠CIH=45°, ∴二面角M—AC1—C的大小为45°
又因为CC1⊥底面ABC∴C1M在底面内射影为CM,AM⊥CM。所以点M为BC边的中点
二问中,利用作辅助线,表示,即为所求
三问中,过点C作CI⊥AC1于I,连HI,∵CH⊥平面C1AM,作出二面角的大小,然后借助于定义法得到结论。
(Ⅰ)∵△AMC1为以点M为直角顶点的等腰直角三角形,∴AM⊥C1M且AM=C1M
∵三棱柱ABC—A1B1C1,∴CC1⊥底面ABC∴C1M在底面内射影为CM,AM⊥CM。
∵底面ABC为边长为a的正三角形,∴点M为BC边的中点 --------------------4分
(Ⅱ)过点C作CH⊥MC1,由(Ⅰ)知AM⊥C1M且AM⊥CM,
∴AM⊥平面C1CM ∵CH在平面C1CM内,∴CH⊥AM,
∴CH⊥平面C1AM
由(Ⅰ)知,AM=CM=,CM=
∴∴
∴点C到平面AMC1的距离为底面边长为-------------------8分
(Ⅲ)过点C作CI⊥AC1于I,连HI,∵CH⊥平面C1AM,
HI⊥AC1,∠CIH是二面角M—AC1—C的平面角
∴HI为CI在平面C1AM内的射影,
∴HI⊥AC1,∠CIH是二面角M—AC1—C的平面角,在直角三角形ACC1中 ,
∴∠CIH=45°, ∴二面角M—AC1—C的大小为45°
练习册系列答案
相关题目