题目内容
【题目】已知函数
.
（1）求函数
在
处切线方程；
（2）讨论函数的单调区间；
（3）对任意
，
恒成立，求
的范围.
【答案】（1）
；（2）答案见解析；（3）
【解析】
（1）先求导数
，再根据导数的几何意义求切线斜率，最后根据点斜式求切线方程即可；
（2）由对
分类讨论，当
，
，
，
和
时，分别求出
的单调区间，能合并的合并即可；
（3）由（2）根据的范围，确定在
上的单调性及最值，求解关于不等式即可.
（1）由题意，
，
在
处的切线方程为：
，
当
时，
，
，
所以切线方程为：
，
即；
（2）由（1）知，
，
①当时，
，
当
时，
，单调递减，
当
时，
，单调递增；
②当时，
，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增；
③当
时，若，则
，单调递增，
若，，解得，或
，
所以在
和
上单调递增，
，解得
，
所以在
上单调递减；
若，，解得
，或，
所以在
和
上单调递增，
，解得
，
所以在
上单调递减，
综上所述，
时，的增区间为，减区间为；
时，的增区间为和，减区间为；
时，的增区间为
；
时，的增区间为和，减区间为；
（3）由对任意
，
恒成立，
可转化为
，
恒成立，
由（2）知，①时，在上单调递增，
所以
，
，
所以
，解得
；
②当
，即
时，所以在上单调递增，
所以，，
所以，解得
，所以；
③当
，即
时，在
上单调递增，在
上单调递减，
，所以
，
，
所以
，不等式无解；
④当
，即
时，在上单调递减，
所以，，
所以
，解得
，所以；
综上
.
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