题目内容
【题目】已知函数.
(1)求函数在
处切线方程;
(2)讨论函数的单调区间;
(3)对任意,
恒成立,求
的范围.
【答案】(1);(2)答案见解析;(3)
【解析】
(1)先求导数,再根据导数的几何意义求切线斜率,最后根据点斜式求切线方程即可;
(2)由对
分类讨论,当
,
,
,
和
时,分别求出
的单调区间,能合并的合并即可;
(3)由(2)根据的范围,确定
在
上的单调性及最值,求解关于
不等式即可.
(1)由题意,,
在
处的切线方程为:
,
当时,
,
,
所以切线方程为:,
即;
(2)由(1)知,,
①当时,
,
当时,
,
单调递减,
当时,
,
单调递增;
②当时,
,
所以当时,
,
单调递减,
当时,
,
单调递增;
③当时,若
,则
,
单调递增,
若,
,解得
,或
,
所以在
和
上单调递增,
,解得
,
所以在
上单调递减;
若,
,解得
,或
,
所以在
和
上单调递增,
,解得
,
所以在
上单调递减,
综上所述,时,
的增区间为
,减区间为
;
时,
的增区间为
和
,减区间为
;
时,
的增区间为
;
时,
的增区间为
和
,减区间为
;
(3)由对任意,
恒成立,
可转化为,
恒成立,
由(2)知,①时,
在
上单调递增,
所以,
,
所以,解得
;
②当,即
时,所以
在
上单调递增,
所以,
,
所以,解得
,所以
;
③当,即
时,
在
上单调递增,在
上单调递减,
,所以
,
,
所以,不等式无解;
④当,即
时,
在
上单调递减,
所以,
,
所以,解得
,所以
;
综上.
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