题目内容
【题目】已知函数(
为自然对数的底数).
(1)若在
上单调递増,求实数
的取值范围;
(2)若不等式对任意的
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)求出函数的导数
,解不等式
得出
,由题意得出
,列出不等式组求出实数
的取值范围;
(2)由可得
对任意的
恒成立,然后构造函数
,将问题转化为
,然后对实数
的取值进行分类讨论,确定函数
在区间
上的最小值
,解出不等式
可得出实数
的取值范围.
(1),
.
解不等式,得
.
由于函数在区间
上单调递增,则
,
所以,解得
,因此,实数
的取值范围是
;
(2)不等式对任意的
恒成立,可得
对任意的
恒成立,构造函数
,其中
,则
.
,构造函数
,则
,
当时,
,则函数
在区间
上单调递增,
则.
①当时,即当
时,对任意的
,
,
此时,函数在区间
上单调递增,
,
解得,此时,
;
②当时,即当
时,则存在
,使得
,
此时,.
当时,
;当
时,
.
所以,函数在
处取得极小值,亦即最小值,
即,
即,得
,又
,所以,
,解得
,
此时.
构造函数,其中
,
,此时,函数
单调递减,
所以,,即
.
综上所述,实数的取值范围是
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题.该企业为了检查生产该产品的甲、乙两条流水线的生产情况,随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本,测出它们的这一项质量指标值.若该项质量指标值落在内,则为合格品,否则为不合格品.如图是甲流水线样本的频数分布表和乙流水线样本的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图,估计乙流水线生产的产品该质量指标值的中位数;
(2)若将频率视为概率,某个月内甲、乙两条流水线均生产了5000件产品,则甲、乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件?
(3)根据已知条件完成下面列联表,并回答是否有
的把握认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两条流水线的选择有关”?
甲流水线 | 乙流水线 | 合计 | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
合计 |
附:,其中
.
临界值表:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |