题目内容
【题目】已知,函数
.
(1)记,求
的最小值;
(2)若有三个不同的零点,求
的取值范围.
【答案】(1) g(a)的最小值为g(1)=0.
(2) 0<a<1.
【解析】分析:(1)先求出,再求出
,分别令
求得
的范围,可得函数
增区间,
求得
的范围,可得函数
的减区间,根据单调性可得
的最小值;(2)
,因为
有三个不同的零点,所以
至少有三个单调区间,而方程
至多有两个不同正根,所以,有
解得,
,然后再证明
在
内各有一个零点,可得
的范围是
.
详解:(1)g(a)=lna2+-2=2(lna+
-1),
g(a)=2(-
)=
,
所以0<a<1时,g(a)<0,g(a)单调递减;
a>1时,g(a)>0,g(a)单调递增,
所以g(a)的最小值为g(1)=0.
(2)f(x)=-
=
,x>0.
因为y=f(x)有三个不同的零点,所以f(x)至少有三个单调区间,
而方程x2+(2a2-4a)x+a4=0至多有两个不同正根,
所以,有解得,0<a<1.
由(1)得,当x≠1时,g(x)>0,即lnx+-1>0,
所以lnx>-,则x>e-
(x>0),
令x=,得
>e-
.
因为f(e-)<-
+
-2=-
<0,f(a2)>0,
f(1)=-2=
<0,f(e2)=
>0,
所以y=f(x)在(e-,a2),(a2,1),(1,e2)内各有一个零点,
故所求a的范围是0<a<1.
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