题目内容
)如图所示,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=,平面PAC⊥平面ABC,PD⊥AC于点D,AD=1,CD=3,PD=.
(1)证明:△PBC为直角三角形;
(2)求直线AP与平面PBC所成角的正弦值.
(1)见解析(2)
【解析】(1)证明:取AC中点E,联结BE,以点E为坐标原点,以EB,EC所在的直线分别为x轴,y轴建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz,则B(,0,0),C(0,2,0),P(0,-1,).
于是=(-,-1,),=(-,2,0).
因为·=(-,-1,)·(-,2,0)=0,所以⊥,
所以BP⊥BC,所以△PBC为直角三角形.
(2)由(1)可得,A(0,-2,0).
于是=(0,1,),=(,1,-),=(0,3,-).
设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),
则即
取y=1,则z=,x=.
所以平面PBC的一个法向量为n=(,1,).
设直线AP与平面PBC所成的角为θ,
则sin θ=|cos〈,n〉|===,
所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为.
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