题目内容
(13分)已知圆O：x2＋y2＝3的半径等于椭圆E：
＝1(a>b>0)的短半轴长，椭圆E的右焦点F在圆O内，且到直线l：y＝x－
的距离为
－
，点M是直线l与圆O的公共点，设直线l交椭圆E于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)求椭圆E的方程；
(2)求证：|AF|－|BF|＝|BM|－|AM|.
（1）
＝1（2）见解析
【解析】(1)设点F(c，0)(c>0)，则F到直线l的距离为
＝
，即|c－
|＝
－1，
因为F在圆O内，所以c<
，故c＝1.
又因为圆O的半径等于椭圆E的短半轴长，所以b2＝3，
所以所求椭圆方程为＝1.
(2)证明：因为圆心O到直线l的距离为
＝
，所以直线l与圆O相切，M是切点，故△AOM为直角三角形，所以|AM|＝
，又
＝1，可得|AM|＝
x1，
|AF|＝
，又＝1，可得|AF|＝2－
x1，
所以|AF|＋|AM|＝2，同理可得|BF|＋|BM|＝2，
所以|AF|＋|AM|＝|BF|＋|BM|，即|AF|－|BF|＝|BM|－|AM|.
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