Question

6．已知函数f（x）=-3x²+（6-a）ax+b．
（1）若a=1时，f（x）＜0在R上恒成立，求b的取值范围；
（2）若不等式f（x）＞0的解集是{x|1＜x＜2}，求a、b的值．

Answer 1

分析 （1）把a=1代入二次不等式，由f（x）＜0在R上恒成立，可得二次不等式所对应二次方程的判别式小于0，由此求得b的取值范围；
（2）直接利用二次不等式的解集为{x|1＜x＜2}，得方程-3x²+（6-a）ax+b=0的两根分别为1，2．然后由根与系数的关系列式求得a、b的值．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=-3x²+5x+b，
由f（x）＜0在R上恒成立，得-3x²+5x+b＜0恒成立，
则△=5²-4×（-3）b＜0，即b$＜-\frac{25}{12}$；
（2）不等式f（x）＞0的解集是{x|1＜x＜2}，
即-3x²+（6-a）ax+b＞0的解集是{x|1＜x＜2}，
也就是方程-3x²+（6-a）ax+b=0的两根分别为1，2．
则$\left\{\begin{array}{l}{1+2=\frac{6-a}{3}}\\{1×2=-\frac{b}{3}}\end{array}\right.$，解得：a=-3，b=-9．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查利用“三个二次”求解参数的范围问题，考查了二次不等式的解集与二次方程根的关系，是中档题．