Question

11．如图，已知A，B，C是直线m上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O切直线m于点A，又过B，C作异于直线m的两切线，切点分别为D，E，设两切线交于点P．

（1）求点P的轨迹E的方程；
（2）证明：已知S是轨迹E上异于A₁，A₂（轨迹E顶点）的一点，直线A₁S，A₂S分别交直线l：x=t（t为常数）于不同两点M，N，点Q在直线l上，若Q为线段MN的中点，则直线SQ与轨迹E有且只有一个公共点S．

Answer 1

分析 （1）设过B、C异于l的两切线分别切⊙O于D、E两点，两切线交于点P．由切线的性质，结合椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，建立坐标系，可求得动点P的轨迹方程；
（2）设S（x₀，y₀）（x₀≠±2），求出A₁S，A₂S的方程，可得M，N的坐标，进而可得Q的坐标，求出SQ的方程，代入椭圆方程，求出△=0，即可得出结论．

解答 解：（1）设过B、C异于l的两切线分别切⊙O于D、E两点，两切线交于点P．
由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，
故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，
故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆
以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{81}+\frac{{y}^{2}}{72}$=1（y≠0）；
（2）证明：设S（x₀，y₀）（x₀≠±9），
l_A1S：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+9}$（x+9）；l_A2S：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-9}$（x-9），
∴M（t，$\frac{{y}_{0}（t+9）}{{x}_{0}+9}$），N（t，$\frac{{y}_{0}（t-9）}{{x}_{0}-9}$），
设MN的中点为Q（t，y₁），则x₁=t，y₁=$\frac{{y}_{0}（{x}_{0}t-9）}{{{x}_{0}}^{2}-81}$=-$\frac{-8（{x}_{0}t-9）}{9{y}_{0}}$
∴Q（t，-$\frac{-8（{x}_{0}t-9）}{9{y}_{0}}$），
∴k_SQ=$\frac{{y}_{1}-{y}_{0}}{t-{x}_{0}}$=-$\frac{8{x}_{0}}{9{y}_{0}}$，
∴SQ的方程为y=-$\frac{8{x}_{0}}{9{y}_{0}}$（x-x₀）+y₀，即y=-$\frac{8{x}_{0}}{9{y}_{0}}$x+$\frac{8}{{y}_{0}}$
代入椭圆方程，消去y可得$\frac{8}{9{{y}_{0}}^{2}}$x²-$\frac{8{x}_{0}}{3{{y}_{0}}^{2}}$x+$\frac{8}{{{y}_{0}}^{2}}$-1=0，
∴△=（-$\frac{8{x}_{0}}{3{{y}_{0}}^{2}}$）²-4•$\frac{8}{9{{y}_{0}}^{2}}$•（$\frac{8}{{{y}_{0}}^{2}}$-1）=0，
∴直线SQ与椭圆E有且只有一个公共点S．

点评 本题考查轨迹方程，考查椭圆的定义，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．