Question

10．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$的左，右焦点分别为F₁，F₂，右顶点为A，椭圆上的点M满足MF₁⊥x轴，MA的中点为N，直线NF₂的斜率k=-$\frac{5}{9}$．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若直线NF₁交椭圆于H，K两点，且|HK|=$\frac{50}{3}$，求椭圆C的方程．

Answer 1

分析 （1）F₁（-c，0），F₂（c，0），A（a，0）．把x=-c代入椭圆方程可取M$（-c，\frac{{b}^{2}}{a}）$，N$（\frac{a-c}{2}，\frac{{b}^{2}}{2a}）$．利用斜率计算公式可得：9c²+15ac-14a²=0，4=0，解出即可．
（2）由e=$\frac{2}{3}$，可得$a=\frac{3}{2}c$，N$（\frac{c}{4}，\frac{5}{12}c）$，利用斜率计算公式可得${k}_{{F}_{1}N}$=$\frac{1}{3}$，直线NF₁的方程为：$y=\frac{1}{3}（x+c）$．与椭圆方程联立化为24x²+8cx-41c²=0，利用根与系数的关系可得：|HK|=$\sqrt{（1+\frac{1}{9}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$，解得c．即可得出．

解答 解：（1）F₁（-c，0），F₂（c，0），A（a，0）．
把x=-c代入椭圆方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，解得y=$±\frac{{b}^{2}}{a}$，取M$（-c，\frac{{b}^{2}}{a}）$，
∴N$（\frac{a-c}{2}，\frac{{b}^{2}}{2a}）$．
∴直线NF₂的斜率k=-$\frac{5}{9}$=$\frac{\frac{{b}^{2}}{2a}-0}{\frac{a-c}{2}-c}$，化为9c²+15ac-14a²=0，
∴9e²+15e-14=0.0＜e＜1．
解得e=$\frac{2}{3}$．
（2）∵e=$\frac{2}{3}$，∴$a=\frac{3}{2}c$，∴N$（\frac{c}{4}，\frac{5}{12}c）$，
∴${k}_{{F}_{1}N}$=$\frac{\frac{5}{12}c-0}{\frac{c}{4}-（-c）}$=$\frac{1}{3}$，
∴直线NF₁的方程为：$y=\frac{1}{3}（x+c）$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}（x+c）}\\{\frac{4{x}^{2}}{9{c}^{2}}+\frac{4{y}^{2}}{5{c}^{2}}=1}\end{array}\right.$，
化为24x²+8cx-41c²=0，∴x₁+x₂=-$\frac{1}{3}c$，x₁x₂=$-\frac{41{c}^{2}}{24}$．
∴|HK|=$\sqrt{（1+\frac{1}{9}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{\frac{10}{9}×（\frac{{c}^{2}}{9}+4×\frac{41{c}^{2}}{24}）}$=$\frac{50}{3}$，
化为c²=36，解得c=6．
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{81}+\frac{{y}^{2}}{45}$=1．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．