Question

1．向量$\overrightarrow{a}$=（cosx+sinx，$\sqrt{2}$cosx），$\overrightarrow{b}$=（cosx-sinx，$\sqrt{2}$sinx），f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若2x²-πx≤0，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由已知结合平面向量的数量积的坐标运算求得f（x），化简后由复合函数的单调性求得函数f（x）的单调区间；
（2）求解不等式得到x的范围，然后求得相位的范围，则函数f（x）的值域可求．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（cosx+sinx，$\sqrt{2}$cosx），$\overrightarrow{b}$=（cosx-sinx，$\sqrt{2}$sinx），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=（cos²x-sin²x）+2sinxcosx=sin2x+cos2x
=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$．
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，
解得：$-\frac{3π}{8}+kπ≤x≤\frac{π}{8}+kπ，k∈Z$，
∴函数f（x）的单调增区间为[$-\frac{3π}{8}+kπ，\frac{π}{8}+kπ$]，k∈Z．
由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{3π}{2}+2kπ，k∈Z$，
解得：$\frac{π}{8}+kπ≤x≤\frac{5π}{8}+kπ，k∈Z$，
∴函数f（x）的单调减区间为[$\frac{π}{8}+kπ，\frac{5π}{8}+kπ$]，k∈Z；
（2）由2x²-πx≤0，得0$≤x≤\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{4}≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{5π}{4}$，则$-\frac{\sqrt{2}}{2}≤sin（2x+\frac{π}{4}）≤1$，
∴函数f（x）的值域为[-1，$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查了三角函数的图象和性质，考查了函数值域的求法，是中档题．