Question

8．已知函数f（x）=log₃$\frac{m{x}^{2}+8x+n}{{x}^{2}+1}$的定义域为R，值域为[0，2]，求$\frac{m-n}{m+n}$的值．

Answer 1

分析 根据函数f（x）的定义域为R，值域为[0，2]，设y=$\frac{{mx}^{2}+8x+n}{{x}^{2}+1}$，化为关于x的一元二次方程，由此求出m、n的值即可．

解答 解：∵函数f（x）=log₃$\frac{m{x}^{2}+8x+n}{{x}^{2}+1}$的定义域为R，
且值域为[0，2]，
∴设y=$\frac{{mx}^{2}+8x+n}{{x}^{2}+1}$，
则1≤y≤9，且（y-m）•x²-8x+（y-n）=0；
由x∈R，则①当y-m≠0时，
方程的判别式△=64-4（y-m）（y-n）≥0，
即 y²-（m+n）y+mn-16≤0；
∴y=1和y=9是方程 y²-（m+n）y+mn-16=0的两个根，
∴m+n=10，mn-16=9，
解得m=n=5；
②若y-m=0，即y=m=n=5 时，对应的x=0，符合条件；
综上，m=n=5；
∴$\frac{m-n}{m+n}$=$\frac{5-5}{5+5}$=0．

点评 本题考查了对数函数的图象与性质的应用问题，也考查了一元二次方程的解法与应用问题，是综合性题目．