题目内容

17.实数x,y满足$\left\{{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{x+3y-3≥0}\\{3x+y-9≤0}\end{array}}\right.$,则z=ax+y的最大值为2a+3,则a的取值范围是(  )
A.[-3,1]B.[-1,3]C.[3,+∞)D.(-∞,-1]

分析 本题考查的知识点是简单线性规划的应用,我们要先画出满足约束条件的平面区域,然后分析平面区域里各个角点,进一步分目标函数z=ax+y的最大值为a+3,构造一个关于a的不等式,解不等式即可求出a的范围.

解答 解:由变量x,y满足约束条件$\left\{{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{x+3y-3≥0}\\{3x+y-9≤0}\end{array}}\right.$,
作出可行域:

∵z=ax+y,A(0,1),∴zA=1;
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{3x+y-9=0}\end{array}\right.$,得B(2,3),∴zB=2a+3;
C(3,0),∴zC=3a.
∵线性目标函数z=ax+y的最大值为2a+3,
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a+3≥3a}\\{2a+3≥1}\end{array}\right.$,解得-1≤a≤3.
故选:B.

点评 在解决线性规划的小题时,我们常用“角点法”,其步骤为:①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证,求出最优解.

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