Question

【题目】定义在区间[﹣2，t]（t＞﹣2）上的函数f（x）=（x2﹣3x+3）ex（其中e为自然对数的底）．
（1）当t＞1时，求函数y=f（x）的单调区间；
（2）设m=f（﹣2），n=f（t），求证：m＜n；
（3）设g（x）=f（x）+（x﹣2）ex ， 当x＞1时，试判断方程g（x）=x的根的个数．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为f′（x）=（x2﹣3x+3）ex+（2x﹣3）ex=x（x﹣1）ex．

当t＞1时，由f′（x）＞0，可得t＞x＞1或﹣2＜x＜0；由f′（x）＜0，可得0＜x＜1，

所以f（x）在（﹣2，0），（1，t）上递增，在（0，1）上递减．

（2）解：证明：由f′（x）＞0，可得x＞1或x＜0；由f′（x）＜0，可得0＜x＜1

所以f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减，所以f（x）在x=1处取得极小值f（1）=e．

又∵f（﹣2）=13e﹣2＜e，所以f（x）仅在x=﹣2处取得[﹣2，t]上的最小值f（﹣2）

从而当t＞﹣2时，f（﹣2）＜f（t），即m＜n．

（3）解：设g（x）=f（x）+（x﹣2）ex=（x﹣1）2ex，当x＞1时判断方程g（x）=x根的个数等价于（x﹣1）2ex=x当x＞1时根的个数

设h（x）=（x﹣1）2ex﹣x（x＞1），则h′（x）=（x2﹣1）ex﹣1，

再设k（x）（x2﹣1）ex﹣1（x＞1），则k′（x）=（x2+2x﹣1）ex，

当x＞1时，k′（x）＞1，即k（x）在（1，+∞）单调递增

∵k（1）=﹣1＜0，k（2）=3e2﹣1＞0

∴在（1，2）上存在唯一x0，使k（x0）=0，即存在唯一x0∈（1，2），使h′（x0）=0

函数h（x）在（1，x0）上，h′（x0）＜0，函数单调减，在（x0，+∞）上，h′（x0）＞0，函数单调增，

∴h（x）min=h（x0）＜h（1）=﹣1＜0

∵h（2）=e2﹣2＞0

y=h（x）的大致图象如图，

由此可得y=h（x）在（1，+∞）上只有一个零点，即g（x）=x，x＞1时只有1个实根．

【解析】（1）先求出函数f（x）的导数，再令f′（x）＞0得函数的单调增区间，令f′（x）＜0得函数的单调减区间；（2）判断函数f（x）的单调性，进而可得函数f（x）的最小值，从而可证m＜n；（3）先构造函数h（x）=g（x）-x，再判断函数h（x）的单调性，进而可得函数h（x）的最小值，最后借助图象可得方程g（x）=x的根的个数．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．