Question

已知函数 ，，其中(1)若，求的极小值；(2)在(1)条件下证明；(3)是否存在实数,使的最小值为3,如果存在，求出实数的值，若不存在，说明理由.

Answer 1

(Ⅰ) f(x)的极小值为f(1)=1  (Ⅱ) 略 （Ⅲ）a=e²

：(1)∵f(x)=ax-lnx，f′(x)="1-" = ，∴当0＜x＜1时，f′(x)＜0，此时f(x)单调递减；
当1＜x＜e时，f′(x)＞0，此时f(x)单调递增。3分∴ f(x)的极小值为f(1)=1．4分
(2)∵f(x)的极小值为1，即f(x)在（0，e）上的最小值为1，∴f(x)＞0，f(x)_min=1．……6分
令h(x) = g(x)+ = + ，h′(x)= ，
当时，h′(x)＞0，h(x)在上单调递增，
∴h(x) h(e)= +＜+=1，…9分∴在(1)的条件下，f(x)＞g(x)+．…10分
(3)假设存在实数a，使f(x) =ax-lnx ，x∈[0, e]有最小值3，f′(x)=a - = ，
①当0＜＜e时，f(x)在(0,)上单调递减，在(, e]上单调递增．
f(x)_min= f()=1+lna=3，a=e²，满足条件．……13分
②当≥e时，f(x)在上单调递减，f(x)_min= f(e)=ae-1=3，a=(舍去)，
所以，此时f(x)无最小值．…15分
综上，存在实数a=e²，使得当x∈（0, e]时f(x)有最小值为3．…16分