题目内容

7.已知函数f(x)=sinx.若存在x1,x2,…,xm满足0≤x1<x2<…<xm≤6π,且|f(x1)-f(x2)|+|f(x2)-f(x3)|+…+|f(xm-1)-f(xm)|=12(m≥2,m∈N*),则m的最小值为8.

分析 由正弦函数的有界性可得,对任意xi,xj(i,j=1,2,3,…,m),都有|f(xi)-f(xj)|≤f(x)max-f(x)min=2,要使m取得最小值,尽可能多让xi(i=1,2,3,…,m)取得最高点,然后作图可得满足条件的最小m值.

解答 解:∵y=sinx对任意xi,xj(i,j=1,2,3,…,m),都有|f(xi)-f(xj)|≤f(x)max-f(x)min=2,
要使m取得最小值,尽可能多让xi(i=1,2,3,…,m)取得最高点,
考虑0≤x1<x2<…<xm≤6π,|f(x1)-f(x2)|+|f(x2)-f(x3)|+…+|f(xm-1)-f(xm)|=12,
按下图取值即可满足条件,

∴m的最小值为8.
故答案为:8.

点评 本题考查正弦函数的图象和性质,考查分析问题和解决问题的能力,考查数学转化思想方法,正确理解对任意xi,xj(i,j=1,2,3,…,m),都有|f(xi)-f(xj)|≤f(x)max-f(x)min=2是解答该题的关键,是难题.

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