题目内容
11.在△ABC中,AC=6,BC=7,cosA=$\frac{1}{5}$,O是△ABC的内心,若$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$,其中x,y∈[0,1],则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为( )A. | $\frac{10\sqrt{6}}{3}$ | B. | $\frac{14\sqrt{6}}{3}$ | C. | 4$\sqrt{3}$ | D. | 6$\sqrt{2}$ |
分析 画出图形,由已知条件便知P点在以OA,OB为邻边的平行四边形内,从而所求面积为2倍的△AOB的面积,从而需求S△AOB:由余弦定理可以求出AB的长为5,根据O为△ABC的内心,从而O到△ABC三边的距离相等,从而${S}_{△AOB}=\frac{5}{5+6+7}•{S}_{△ABC}$,由面积公式可以求出△ABC的面积,从而求出△AOB的面积,这样2S△AOB便是所求的面积.
解答 解:如图,根据题意知,P点在以OA,OB为邻边的平行四边形内部,∴动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2S△AOB;
在△ABC中,cos$∠BAC=\frac{1}{5}$,AC=6,BC=7;
∴由余弦定理得,$\frac{1}{5}=\frac{A{B}^{2}+36-49}{2AB•6}$;
解得:AB=5,或AB=$-\frac{13}{5}$(舍去);
又O为△ABC的内心;
∴${S}_{△AOB}=\frac{5}{5+6+7}•{S}_{△ABC}$=$\frac{5}{18}•\frac{1}{2}•5•6•sin∠BAC=\frac{25}{6}•\sqrt{1-\frac{1}{25}}$=$\frac{5\sqrt{6}}{3}$;
∴动点P的轨迹所覆盖图形的面积为$\frac{10\sqrt{6}}{3}$.
故选A.
点评 考查向量加法的平行四边形法则,向量数乘的几何意义,余弦定理,以及三角形内心的定义,三角形的面积公式:S=$\frac{1}{2}absinC$.
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