题目内容
【题目】如图,已知四棱锥 中,
.
(1)证明:顶点在底面
的射影在
的平分线上;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)余弦值为.
【解析】试题分析:(1)根据题意作出底面
,分别作
,垂直分别为
,连接
,证明
,进而根据角平分线的定义得到结论;(2)建立坐标系,计算两个面的二面角,再由公式得到两个法向量的夹角。
解析:
(1)设点为点
在底面
的射影,连接
,则
底面
,
分别作,垂直分别为
,连接
,
因为底面
,
底面
,所以
,
又
,所以
平面
平面
,
所以,
同理,即
,
又,所以
,
所以,又
,所以
,
所以,所以
为
的平分线.
(2)以为原点,分别以
所在直线为
轴,建立如图所示的空间直角坐标系
,
因为,所以
,因为
为
的平分线,
所以,所以
,
则,
所以
设平面的一个法向量为
,
则 ,可取
,
设平面的一个法向量为
,
则由,可取
,
所以 ,
所以二面角的余弦值为
.
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