Question

【题目】已知函数f（x）=|x﹣a|+m|x+a|．
（1）当m=a=﹣1时，求不等式f（x）≥x的解集；
（2）不等式f（x）≥2（0＜m＜1）恒成立时，实数a的取值范围是{a|a≤﹣3或a≥3}，求实数m的集合．

Answer 1

【答案】
（1）解：m=a=﹣1时，|x+1|﹣|x﹣1|≥x，

x＜﹣1时，﹣（x+1）+（x﹣1）≥x，解得：x≤﹣2，

﹣1≤x≤1时，（x+1）+（x﹣1）≥x，解得：0≤x＜1，

x≥1时，（x+1）﹣（x﹣1）≥x，解得：1≤x≤2，

综上，不等式的解集是{x|x≤﹣2或0≤x≤2}；

（2）解：f（x）=|x﹣a|+m|x+a|=m（|x﹣a|+|x+a|）+（1﹣m）|x﹣a|≥2m|a|+（1﹣m）|x﹣a|≥2m|a|≥2，

解得：a≤﹣ 或a≥ ，

∵数a的取值范围是{a|a≤﹣3或a≥3}，

故 =3，解得：m= ，

∴实数m的集合是{m|m= }

【解析】（1）将m=a=﹣1代入（x），通过讨论x的范围求出不等式的解集即可；（2）根据绝对值的性质得到2m|a|≥2，解出a，得到关于m的方程，解出即可．
【考点精析】关于本题考查的绝对值不等式的解法，需要了解含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号才能得出正确答案．