题目内容
【题目】已知四棱锥 (图1)的三视图如图2所示,
为正三角形,
垂直底面
,俯视图是直角梯形.
图1 图2
(1)求正视图的面积;
(2)求四棱锥的体积;
(3)求证:平面
.
【答案】(1);(2)
;(3)证明略.
【解析】
试题(1)先根据几何体的三视图得到几何体的几何特征,再求出几何体的高,进而可以求解;(2)利用四棱锥的体积公式进行求解;(3)先利用线面垂直的性质和勾股定理得到线线垂直,再利用线面垂直的判定定理进行证明.
试题解析:(1)过作
,根据三视图可知,
是
的中点,且
,
.
又∵为正三角形,
∴,且
,
∴.
∵平面
,
平面
,∴
.
∴,即
正视图的面积为.
(2)由(1)可知,四棱锥的高
,
底面积为,
∴四棱锥的体积为
.
(3)证明:∵平面
,
平面
,∴
.
∵在直角三角形中,
,
在直角三角形中,
,
∴,∴
是直角三角形,
∴,又∵
,∴
平面
.
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