Question

如图,在四棱锥中,⊥底面,四边形是直角梯形,⊥,∥,,.

(1)求证:平面⊥平面；
(2)求点C到平面的距离；
(3)求PC与平面PAD所成的角的正弦值。

Answer 1

（1）见解析；（2）；（3）。

解析试题分析：（1）平面，需证BC⊥平面PAB, 由⊥底面得PA⊥BC,又已知⊥,
故问题得证；（2）利用等体积转化法，；（3）根据线面角的定义，求出点C到平面PAD的距离、线段的长度，即可求出PC与平面PAD所成的角的正弦值。 
试题解析：(1)∵PA⊥平面ABCD, BC Ì平面ABCD,∴PA⊥BC,
又AB⊥BC,PA∩AB=A, ∴BC⊥平面PAB,
∵BC Ì平面PBC, ∴平面PBC⊥平面PAB 
(2), ∵
,
设点C到平面PBD的距离为,∵，
∴,∴
由(2)知, ,又,∴
连接AC交BD于E,,
由相似形可得,点C到平面PAD的距离=,,
∴PC与平面PAD所成的角的正弦值是。      
考点：（1）空间线面平垂直、面面平垂直判定定理的应用；（2）空间线面角的定义及求法；（3）空间点面距离概念与求法。