题目内容
如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=AC=4,AB=BC=2
(1)若点P在底面ABC内的射影是点O,试指出点O的位置,并说明理由;
(2)求证:平面ABC⊥平面APC;
(3)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值.

【答案】分析:(1)先判断AB⊥BC,再根据PA=PB=PC,即可得到结论;
(2)利用线面垂直,可得面面垂直;
(3)取BC的中点为E,过A作AF⊥平面PBC交平面PAC于F,则∠APF就是PA与平面PBC所成的角,由此可得结论.
解答:(1)解:∵AC=4,AB=BC=2
,∴AC2=AB2+BC2,∴AB⊥BC

∵PA=PB=PC,∴点P在底面ABC内的射影O,满足OA=OB=OC
∴O是AC的中点;
(2)证明:由(1)知,PO⊥平面ABC.
∵PO?平面APC,
∴平面ABC⊥平面APC;
(3)解:取BC的中点为E,过A作AF⊥平面PBC交平面PAC于F,则∠APF就是PA与平面PBC所成的角
∵PB=PC=4,BC=2
,又BE=CE,∴BE⊥PE,BE=
,
∴由勾股定理,有PE=
.
∴S△PBC=
BC×PE=
×2
×
=2
.
∴VA-PBC=
S△PBC×AF=
AF.
∵PA=PC=AC=4,∴S△PAC=
AC×PD=4
.
∵BD⊥平面PAC,∴VB-PAC=
S△PAC×BD=
.
∵VA-PBC=VB-PAC,∴
AF=
,∴AF=
.
∴sin∠APF=
=
=
.
∴PA与平面PBC所成角的正弦值为
.
点评:本题考查线面垂直,考查面面垂直,考查线面角,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
(2)利用线面垂直,可得面面垂直;
(3)取BC的中点为E,过A作AF⊥平面PBC交平面PAC于F,则∠APF就是PA与平面PBC所成的角,由此可得结论.
解答:(1)解:∵AC=4,AB=BC=2


∵PA=PB=PC,∴点P在底面ABC内的射影O,满足OA=OB=OC
∴O是AC的中点;
(2)证明:由(1)知,PO⊥平面ABC.
∵PO?平面APC,
∴平面ABC⊥平面APC;
(3)解:取BC的中点为E,过A作AF⊥平面PBC交平面PAC于F,则∠APF就是PA与平面PBC所成的角
∵PB=PC=4,BC=2


∴由勾股定理,有PE=

∴S△PBC=





∴VA-PBC=


∵PA=PC=AC=4,∴S△PAC=


∵BD⊥平面PAC,∴VB-PAC=


∵VA-PBC=VB-PAC,∴



∴sin∠APF=



∴PA与平面PBC所成角的正弦值为

点评:本题考查线面垂直,考查面面垂直,考查线面角,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

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