Question

11．如图，在三棱锥D-ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF=3FC，M为AD上一点且AM=2DM．
（1）求证：AC⊥平面DEF；
（2）求证：BM∥平面DEF．

Answer 1

分析 （1）取AC的中点H，要证明AC⊥平面DEF，可先证DE⊥AC，再证明EF⊥AC即可．
（2）先证明MH∥DF，又EF∥BH，EF∩DF=F，BH∩MH=H，从而可证平面DEF∥平面MHB，即可证明BM∥平面DEF．

解答 证明：（1）取AC的中点H，∵AB=BC，∴BH⊥AC．
∵AF=3FC，∴F为CH的中点．
∵E为BC的中点，∴EF∥BH．则EF⊥AC．
∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．
∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．
∵AB∩BC=B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC．
∵DE∩EF=E，∴AC⊥平面DEF．
（2）∵△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，
∴AD=BC，
∵M为AD上一点且AM=2DM．F在棱AC上，且AF=3FC，且H为AC的中点，
∴$\frac{AM}{MD}=\frac{AH}{HF}$=2，
∴MH∥DF，
又∵EF∥BH，EF∩DF=F，BH∩MH=H，
∴平面DEF∥平面MHB，
∴BM∥平面DEF．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．