题目内容
【题目】已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(0,1)且与x轴有唯一的交点(﹣1,0).
(1)求f(x)的表达式;
(2)在(1)的条件下,设函数F(x)=f(x)﹣mx,若F(x)在区间[﹣2,2]上是单调函数,求实数m的取值范围;
(3)设函数g(x)=f(x)﹣kx,x∈[﹣2,2],记此函数的最小值为h(k),求h(k)的解析式.
【答案】
(1)解:依题意得c=1, ,b2﹣4ac=0
解得a=1,b=2,c=1,
从而f(x)=x2+2x+1;
(2)解:F(x)=x2+(2﹣m)x+1图象的对称轴为直线 ,图象开口向上,
当 或
,即m≤﹣2或m≥6时,F(x)在[﹣2,2]上单调,
故实数m的取值范围为(﹣∞,﹣2]∪[6,+∞);
(3)解:g(x)=x2+(2﹣k)x+1图象的对称轴为直线 ,图象开口向上
当 ,即k≤﹣2时,F(x)在[﹣2,2]上单调递增,
此时函数F(x)的最小值g(k)=F(﹣2)=2k+1
当 即﹣2<k≤6时,F(x)在
上递减,在
上递增
此时函数F(x)的最小值 ;
当 即k>6时,F(x)在[﹣2,2]上单调递减,
此时函数F(x)的最小值g(k)=F(2)=9﹣2k;
综上,函数F(x)的最小值
【解析】(1)依题意得c=1, ,b2﹣4ac=0,解方程组求出a,b,c值,可得f(x)的表达式;(2)函数F(x)=x2+(2﹣m)x+1图象的对称轴为直线
,图象开口向上,若F(x)在区间[﹣2,2]上是单调函数,则区间在对称轴的一侧,进而得到实数m的取值范围;(3)g(x)=x2+(2﹣k)x+1图象的对称轴为直线
,图象开口向上,不同情况下g(x)在区间[﹣2,2]上单调性,进而可得函数的最小值为h(k)的解析式.
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