Question

【题目】已知定义域为R的函数 是奇函数．
（1）求a值；
（2）判断并证明该函数在定义域R上的单调性；
（3）设关于x的函数F（x）=f（4x﹣b）+f（﹣2x+1）有零点，求实数b的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）的定义域为R且为奇函数，

∴f（0）= =0，解得a=1，经检验符合．

（2）解：∵ ，f（x）在R上位减函数

证明：设x1＜x2，

则 ，（∵ ）

∴f（x）在R上是减函数．

（3）解：由F（x）=0，

得f（4x﹣b）+f（﹣2x+1）=0，

∵函数f（x）是奇函数

∴f（4x﹣b）=f（2x+1）

即4x﹣b=2x+1有解，

∴b=4x﹣2x+1=（2x）2﹣22x≥﹣1，

∴实数b的取值范围是b≥﹣1

【解析】（1）利用函数是奇函数，由f（0）=0，即可求a值；（2）利用函数单调性定义判断并证明该函数在定义域R上的单调性；（3）利用函数的奇偶性和函数零点的定义，求b的取值范围．
【考点精析】利用函数单调性的判断方法和函数的奇偶性对题目进行判断即可得到答案，需要熟知单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．