题目内容
【题目】已知椭圆
的左右焦点分别为
.经过点
且倾斜角为
的直线
与椭圆交于
两点(其中点
在
轴上方)，
的周长为
.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，把平面
沿轴折起来，使
轴正半轴和轴确定的半平面，与轴负半轴和轴所确定的半平面互相垂直，若折叠后的周长为
，求
的大小.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）根据
的周长，结合椭圆的定义可构造方程求得
，进而得到椭圆方程；
（2）结合折叠前后的周长可知：
，将
方程与椭圆方程联立，得到韦达定理的形式，利用弦长公式和空间两点间距离公式表示出
，从而构造出关于斜率的方程，求得斜率后即可得到
.
（1）设椭圆
的标准方程为
，
由椭圆定义知：
，
的周长
，
解得：
，
，
椭圆的标准方程为.
（2）设
在新图形中对应的点为
，若
，
，则
，
.
，
且
，
，
.
当
时，
，
，不满足题意；
当
时，设
，代入椭圆方程得：
，
，
，
，
，
，
，
，
整理可得：
，
，
，即；
综上所述：.
【题目】某校两个班级100名学生在一次考试中的成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区如下表：
组号 | 第一组 | 第二组 | 第三组 | 第四组 | 第五组 |
分组 |
|
|
|
|
|
（1）求频率表分布直方图中a的值；
（2）根据频率表分布直方图，估计这100名学生这次考试成绩的平均分；
（3）现用分层抽样的方法从第三、四、五组中随机抽取6名学生，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2名，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率.
【题目】学生考试中答对但得不了满分的原因多为答题不规范，具体表现为：解题结果正确，无明显推理错误，但语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等，记此类解答为“
类解答”.为评估此类解答导致的失分情况，某市教研室做了一项试验：从某次考试的数学试卷中随机抽取若干属于“类解答”的题目，扫描后由近百名数学老师集体评阅，统计发现，满分12分的题，阅卷老师所评分数及各分数所占比例大约如下表：
教师评分（满分12分） | 11 | 10 | 9 |
各分数所占比例 |
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某次数学考试试卷评阅采用“双评+仲裁”的方式，规则如下：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该题得分.（假设本次考试阅卷老师对满分为12分的题目中的“类解答”所评分数及比例均如上表所示，比例视为概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响）.
（1）本次数学考试中甲同学某题（满分12分）的解答属于“类解答”，求甲同学此题得分
的分布列及数学期望
；
（2）本次数学考试有6个解答题，每题满分均为12分，同学乙6个题的解答均为“类解答”，记该同学6个题中得分为
的题目个数为
，
，
，计算事件“
”的概率.
