Question

【题目】设fk（n）为关于n的k（k∈N）次多项式．数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn ． 对于任意的正整数n，an+Sn=fk（n）都成立． （Ⅰ）若k=0，求证：数列{an}是等比数列；
（Ⅱ）试确定所有的自然数k，使得数列{an}能成等差数列．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：若k=0，则fk（n）即f0（n）为常数， 不妨设f0（n）=c（c为常数）．
因为an+Sn=fk（n）恒成立，所以a1+S1=c，c=2a1=2．
而且当n≥2时，
an+Sn=2，①
an﹣1+Sn﹣1=2，②
①﹣②得 2an﹣an﹣1=0（n∈N，n≥2）．
若an=0，则an﹣1=0，…，a1=0，与已知矛盾，所以an≠0（n∈N*）．
故数列{an}是首项为1，公比为 的等比数列．
（Ⅱ）解：（1）若k=0，由（Ⅰ）知，不符题意，舍去．
⑵若k=1，设f1（n）=bn+c（b，c为常数），
当n≥2时，an+Sn=bn+c，③
an﹣1+Sn﹣1=b（n﹣1）+c，④
③﹣④得 2an﹣an﹣1=b（n∈N，n≥2）．
要使数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列，
必须有an=b﹣d（常数），
而a1=1，故{an}只能是常数数列，通项公式为an=1（n∈N*），
故当k=1时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为an=1（n∈N*），
此时f1（n）=n+1．
⑶若k=2，设f2（n）=pn2+qn+t（a≠0，a，b，c是常数），
当n≥2时，
an+Sn=pn2+qn+t，⑤
an﹣1+Sn﹣1=p（n﹣1）2+q（n﹣1）+t，⑥
⑤﹣⑥得 2an﹣an﹣1=2pn+q﹣p（n∈N，n≥2），
要使数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列，
必须有an=2pn+q﹣p﹣d，且d=2p，
考虑到a1=1，所以an=1+（n﹣1）2p=2pn﹣2p+1（n∈N*）．
故当k=2时，数列{an}能成等差数列，
其通项公式为an=2pn﹣2p+1（n∈N*），
此时f2（n）=an2+（a+1）n+1﹣2a（a为非零常数）．
⑷当k≥3时，若数列{an}能成等差数列，根据等差数列通项公式可知Sn是关于n的二次型函数，
则an+Sn的表达式中n的最高次数为2，
故数列{an}不能成等差数列．
综上得，当且仅当k=1或2时，数列{an}能成等差数列
【解析】（Ⅰ）若k=0，不妨设f0（n）=c（c为常数）．即an+Sn=c，结合数列中an与 Sn关系 求出数列{an}的通项公式后再证明．（Ⅱ）由特殊到一般，实质上是由已知an+Sn=fk（n） 考查数列通项公式求解，以及等差数列的判定．
【考点精析】本题主要考查了等差关系的确定和等比关系的确定的相关知识点，需要掌握如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么这个数列就叫做等差数列；等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n项和法进行判断才能正确解答此题．