题目内容
【题目】若函数f(x)=x3+(k﹣1)x2+(k+5)x﹣1在区间(0,2)上不单调,则实数k的取值范围为 .
【答案】(﹣5,﹣2)
【解析】解:f′(x)=3x2+2(k﹣1)x+k+5, 若函数f(x)=x3+(k﹣1)x2+(k+5)x﹣1在区间(0,2)上单调,
则4(k﹣1)2﹣12(k+5)≤0 ①
或 ②
或 ③
或 ④.
解①得﹣2≤k≤7;解②得k≥1;解③得k∈;解④得k≤﹣5.
综上,满足函数f(x)=x3+(k﹣1)x2+(k+5)x﹣1在区间(0,2)上单调的k的范围为k≤﹣5或k≥﹣2.
于是满足条件的实数k的范围为(﹣5,﹣2).
所以答案是:(﹣5,﹣2).
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减才能正确解答此题.
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