Question

20．设关于x的不等式$\sqrt{x}$＞ax+$\frac{3}{2}$的解集为（4，b），求不等式$\frac{1}{a}$x²-bx+16＞0的解集．

Answer 1

分析 根据a${（\sqrt{x}）}^{2}$-$\sqrt{x}$+$\frac{3}{2}$＜0的解集为（4，b），可得4a-2+$\frac{3}{2}$，求得a的值，从而求得b的值，由此解一元二次求得$\frac{1}{a}$x²-bx+16＞0的解集．

解答 解：∵关于x的不等式$\sqrt{x}$＞ax+$\frac{3}{2}$，即a${（\sqrt{x}）}^{2}$-$\sqrt{x}$+$\frac{3}{2}$＜0，根据它的解集为（4，b），可得4a-2+$\frac{3}{2}$，∴a=$\frac{1}{8}$．
故不等式$\sqrt{x}$＞$\frac{1}{8}$x+$\frac{3}{2}$的解集为（4，b），∴$\sqrt{b}$=$\frac{1}{8}$b+$\frac{3}{2}$，∴b=4（舍去），或 b=36，
∴不等式$\frac{1}{a}$x²-bx+16＞0，即8x²-36x+16＞0，求得它的解集为{x|x＜$\frac{1}{2}$，或 x＞4}．

点评 本题主要考查一元二次不等式的解法，二次函数的性质，属于中档题．