题目内容
11.设实数x,y,z满足0<x<y<z<$\frac{π}{2}$,证明:$\frac{π}{2}$+2sinxcosy+2sinycosz>sin2x+sin2y+sin2z.分析 利用作差法,结合三角恒等变换公式,即可证明结论.
解答 证明:由于sin2x+sin2y+sin2z-2sinxcosy-2sinycosz
=$\frac{1}{2}$[(sin2x+sin2y)+(sin2y+sin2z)+(sin2z+sin2x)]-2sinxcosy-2sinycosz
≤sin(x+y)cos(x-y)+sin(y+z)cos(y-z)+sin(z+x)cos(z-x)-2sinxcosycos(x-y)-2sinycoszcos(y-z)
=sin(y-x)cos(x-y)+sin(z-y)cos(y-z)+sin(z+x)cos(z-x)
=$\frac{1}{2}$sin(2y-2x)+$\frac{1}{2}$sin(2z-2y)+sin(z+x)cos(z-x)
=sin(z-x)cos(2y-x-z)+sin(z+x)cos(z-x)
≤sin(z-x)+cos(z-x)≤$\sqrt{2}$<$\frac{π}{2}$
故$\frac{π}{2}$+2sinxcosy+2sinycosz>sin2x+sin2y+sin2z.
点评 本题考查不等式的证明,考查作差法,正确运用三角恒等变换公式是关键.
练习册系列答案
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