题目内容

若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若在区间[-1,1]上,不等式f(x)>2x+m恒成立,求实数m的取值范围.

(1) f(x)=x2-x+1.(2) (-∞,-1).

解析试题分析:(1)由f(0)=1得,c=1.                     1分
∴f(x)=ax2+bx+1.又f(x+1)-f(x)=2x,
∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,
即2ax+a+b=2x,∴        5分
因此,f(x)=x2-x+1.
(2)f(x)>2x+m等价于x2-x+1>2x+m,                 6分
即x2-3x+1-m>0,要使此不等式在[-1,1]上恒成立,
只需使函数g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上的最小值大于0即可.   8分
∵g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上单调递减,
∴g(x)min=g(1)=-m-1,                                10分
由-m-1>0得,m<-1.
因此满足条件的实数m的取值范围是(-∞,-1).          12分
考点:本题考查了一元二次函数及其恒成立问题
点评:对于二次函数f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)在实数集R上恒成立问题可利用判别式直接求解,即:f(x)>0恒成立;f(x)<0恒成立,若是二次函数在指定区间上的恒成立问题,还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解

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