题目内容

【题目】如图所示,正三棱柱的底面边长是2,侧棱长是的中点.

(Ⅰ)求证:平面

(Ⅱ)在线段上是否存在一点,使得平面平面?若存在,求出的长;若不存在,说明理由.

【答案】I)见解析;(II)存在点,使得平面平面,且

【解析】

(I)连接AB1A1B于点M,连接MD.利用中位线定理得出B1CMD,故而B1C∥平面A1BD

(II)作COAB于点O,以O为坐标原点建立空间坐标系,设AEa,分别求出平面B1C1E和平面A1BD的法向量,令两法向量垂直解出a

I)连接于点,连接

∵三棱柱是正三棱柱,∴四边形是矩形,

的中点.

的中点,∴

平面平面

平面

II)作于点,则平面

为坐标原点建立空间直角坐标系如图,假设存在点,设

的中点,∴

设是平面的法向量为,∴

,令,得

,则

设平面的法向量为,∴

,令,得

∵平面平面,∴

,解得

∴存在点,使得平面平面,且

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