Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=2，平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C，∠AA₁C₁=∠BAC₁=60°，设AC₁与AC相交于点O，如图．
（I）求证：BO⊥平面AA₁C₁C；
（Ⅱ）求二面角B₁-AC₁-A₁的大小．

Answer 1

分析：（I）由四边形AA₁C₁C为平行四边形，知AC=A₁C₁，由AC=AA₁，知△AA₁C₁为等边三角形，由此能够证明BO⊥平面AA₁C₁C．
（Ⅱ）连接BA₁交AB₁于E，过E作EF∥BO交OA₁于F，连接OE，由BO⊥平面AA₁C₁C，AC₁?平面AA₁C₁C，知EF⊥AC₁，由OF⊥AC₁，OF∩EF=F，EF，OF?平面OA₁B，知AC₁⊥平面OA₁B，由OE?平面OA 1 B，知AC₁⊥OE，由此得到∠EOF是二面角的平面角，从而能求出二面角B₁-AC₁-A₁的大小．

解答：解：（I）∵四边形AA₁C₁C为平行四边形，∴AC=A₁C₁，
∵AC=AA₁，∴AA₁=A₁C₁，∴∠AA₁C₁=60°，
∴△AA₁C₁为等边三角形，
同理△ABC₁是等边三角形，
∵O为AC₁的中点，∴BO⊥AC₁，
∵BO?平面ABC₁，平面ABC₁∩平面AA₁C₁C=AC₁，
∴平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C，
由面面垂直的性质定理知BO⊥平面AA₁C₁C．
（Ⅱ）连接BA₁交AB₁于E，过E作EF∥BO交OA₁于F，连接OE，
∵BO⊥平面AA₁C₁C，AC₁?平面AA₁C₁C，∴EF⊥AC₁，
又∵OF⊥AC₁，OF∩EF=F，
EF，OF?平面OA₁B，
∴AC₁⊥平面OA₁B，
∵OE?平面OA 1 B，∴AC₁⊥OE，
∴∠EOF是二面角的平面角，
在直角三角形EOF中，OF=

1

4

CA1=

3

2

，
EF=

1

2

BO=

3

2

，
∴∠EOF=

π

4

，故二面角B₁-AC₁-A₁的大小为

π

4

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．