Question

如图所示，在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b（b＜a）,在AB，AD，CD，CB上分别截取AE，AH，CG，CF都等于x，当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？并求出最大面积.

Answer 1

当a≤3b，x=时，四边形面积S_max=,当a＞3b，x=b时，四边形面积S_max=ab-b².

设四边形EFGH的面积为S，
则S_△AEH=S_△CFG=x²,
S_△BEF=S_△DGH=（a-x）（b-x），
∴S=ab-2［²+（a-x）（b-x）］
=-2x²+（a+b）x=-2（x-²+
由图形知函数的定义域为{x|0＜x≤b}.
又0＜b＜a,∴0＜b＜,若≤b,即a≤3b时，
则当x=时，S有最大值;
若＞b,即a＞3b时，
S（x）在（0,b］上是增函数，
此时当x=b时，S有最大值为
-2(b-)²+=ab-b²,
综上可知，当a≤3b，x=时，
四边形面积S_max=,
当a＞3b，x=b时，四边形面积S_max=ab-b².