Question

16．在如图的平面多边形ACBEF中，四边形ABEF是矩形，点O为AB的中点，△ABC中，AC=BC，现沿着AB将△ABC折起，直至平面ABEF⊥平面ABC，如图，此时OE⊥FC．
（1）求证：OF⊥EC；
（2）若FC与平面ABC所成角为30°，求二面角F-CE-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结OC，则OC⊥AB，从而得到OC⊥OE，进而得到OF⊥OE，由此能证明OF⊥EC．
（Ⅱ）由（I）得AB=2AF．设AF=1，AB=2．由∠FCA为直线FC与平面ABC所成的角，知∠FCA=30°，由已知条件推导出∠FMP为二面角F-CE-B的平面角，由此能求出二面角F-CE-B的余弦值

解答 （Ⅰ）证明：连结OC，∵AC=BC，O是AB的中点，故OC⊥AB．   
又∵平面ABC⊥平面ABEF，
故OC⊥平面ABE，
于是OC⊥OF．OC⊥OE，
又OE⊥FC，
∵OF⊥平面OFC，
∴OE⊥OF，
又∵OC⊥OF，∴OF⊥平面OEC，
∴OF⊥EC． 
（Ⅱ）由（I）得AB=2AF．不妨设AF=1，AB=2．
∵∠FCA为直线FC与平面ABC所成的角，
∴∠FCA=30°，
∴FC=EC=2，△EFC为等边三角形．
设FO∩EB=P，则O，B分别为PF，PE的中点，△PEC也是等边三角形．
取EC的中点M，连结FM，MP，则FM⊥CE，MP⊥CE，
∴∠FMP为二面角F-CE-B的平面角．
在△MFP中，FM=MP=$\sqrt{3}$，FP=2$\sqrt{2}$，
故cos∠FMP=$\frac{F{M}^{2}+M{P}^{2}-F{P}^{2}}{2FM•MP}$=$\frac{3+3-8}{3×\sqrt{3}×\sqrt{3}}$=$-\frac{1}{3}$，
即二面角F-CE-B的余弦值为-$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，本题也可以建立坐标系，利用向量法进行求解．