题目内容
7．已知点Pn（an，bn）（n∈N*）在直线l：y=3x+1上，P1是直线l与y轴的交点，数列{an}是公差为1的等差数列．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）若f（n）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，n为奇数}\\{{b}_{n}，n为偶数}\end{array}\right.$是否存在k∈N*，使f（k+3）=4f（k）成立？若存在，求出所有符合条件的k值；若不存在，请说明理由．
分析 （1）利用已知条件求出a1=0，b1=1，然后求出an，通过点Pn（an，bn）在直线l：y=3x+1上，求出bn．
（2）化简f（x）=$\left\{\begin{array}{l}n-1，n为偶数\\ 3n-2，n为奇数\end{array}\right.$，假设存在k∈N*，使f（k+3）=4f（k）成立，通过①当k为奇数时，②当k为偶数分别求解k即可．
解答 （本小题满分14分）
解：（1）因为P1（a1，b1）是直线l：y=3x+1与y轴的交点（0，1），
所以a1=0，b1=1．…（2分）
因为数列{an}是公差为1的等差数列，
所以an=n-1．…（4分）
因为点Pn（an，bn）（n∈N*）在直线l：y=3x+1上，
所以bn=3an+1=3n-2．
所以数列{an}，{bn}的通项公式分别为an=n-1，bn=3n-2k∈N*．…（6分）
（2）因为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}n-1，n为偶数\\ 3n-2，n为奇数\end{array}\right.$
假设存在k∈N*，使f（k+3）=4f（k）成立．…（7分）
①当k为奇数时，k+3为偶数，
则有3（k+3）-2=4（k-1），
解得k=11，符合题意．…（10分）
②当k为偶数时，k+3为奇数，
则有（k+3）-1=4（3k-2），
解得k=$\frac{10}{11}$，不合题意．…（13分）
综上可知，存在k=11符合条件．…（14分）
点评 本题考查数列与函数相结合，数列的通项公式的求法，分类讨论思想的应用，考查计算能力．
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18．已知集合A=$\left\{{（{x，y}）|\left\{{\begin{array}{l}{x+y-1≤0}\\{x-y-3≤0}\\{x≥1}\end{array}}\right.}\right\}，B\left\{{（{x，y}）|{{（{x-2}）}^2}+{{（{y-2}）}^2}≤{R^2}，R＞0}\right\}$．且A∩B≠ϕ，R的最小值为（ ）
| A． | $\frac{{2\sqrt{3}}}{2}$ | B． | $\sqrt{5}$ | C． | 3 | D． | 5 |
15．某中学有三个年级，各年级男、女生人数如表所示：
已知在全校学生中随机抽取1名学生，抽到三年级男生的概率是0.15．
（Ⅰ）求z的值；
（Ⅱ）用水机抽样的方法从高一年级女生中选出8人，测量他们的体重，结果如下：52，56，60，61，55，62，58，59（单位：kg）．把这8人的体重看作一个总体，从中任取一个数，求该数ξ样本平均数之差的绝对值不超过2的概率；
（Ⅲ）用分层抽样的方法在高三年级中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任选2名学生，求这2名学生均为男生的概率．
| 高一年级 | 高二年级 | 高三年级 | |
| 女生 | 370 | z | 200 |
| 男生 | 380 | 370 | 300 |
（Ⅰ）求z的值；
（Ⅱ）用水机抽样的方法从高一年级女生中选出8人，测量他们的体重，结果如下：52，56，60，61，55，62，58，59（单位：kg）．把这8人的体重看作一个总体，从中任取一个数，求该数ξ样本平均数之差的绝对值不超过2的概率；
（Ⅲ）用分层抽样的方法在高三年级中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任选2名学生，求这2名学生均为男生的概率．
