题目内容

20.若实数a,b,c成等差数列,点P(-1,0)在动直线ax+by+c=0上的射影为M,点N坐标为(3,3),则线段
MN长度的最小值是5-$\sqrt{2}$.

分析 利用等差数列的性质得到2b=a+c,整理后可得直线ax+by+c=0恒过Q(1,-2),由条件得到PM与QM垂直得到M在以PQ为直径的圆上,利用中点坐标公式求出圆心A的坐标,利用两点间的距离公式求出此圆的半径r和|AN|,判断出点N与圆的位置关系,在求出线段MN长度的最小值.

解答 解:∵实数a,b,c成等差数列,
∴2b=a+c,即a-2b+c=0,
可得动直线ax+by+c=0恒过Q(1,-2),
∵点P(-1,0)在动直线ax+by+c=0上的射影为M,
∴∠PMQ=90°,则M在以PQ为直径的圆上,
∴此圆的圆心A坐标为($\frac{1-1}{2}$,$\frac{-2+0}{2}$),即A(0,-1),
半径r=$\frac{1}{2}$|PQ|=$\frac{1}{2}\sqrt{4+4}$=$\sqrt{2}$,
又N(3,3),∴|AN|=$\sqrt{(3-0)^{2}+(3+1)^{2}}$=5$>\sqrt{2}$,则点N在圆外,
则|MN|min=5-$\sqrt{2}$,
故答案为:5-$\sqrt{2}$.

点评 本题考查了等差数列的性质,恒过定点的直线方程,圆周角定理,线段中点坐标公式,以及两点间的距离公式,利用等差数列的性质得到2b=a+c,即a-2b+c=0是解本题的突破点.

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