题目内容

15.在△ABC中,A、B、C所对的边分别是a、b、c,若a•cosC+c•cosA=2b•cosB.
(1)求B的大小;          
(2)若a+c=$\sqrt{10}$,b=2,求△ABC的面积.

分析 (1)根据正弦定理和两角和的正弦公式化简已知的式子,根据内角和定理化简求出cosB的值,由内角的范围求出角B;
(2)由(1)和余弦定理列出方程,结合条件和整体代换求出ac的值,代入三角形的面积公式求出△ABC的面积.

解答 解:(1)由题意得,a•cosC+c•cosA=2b•cosB,
∴由正弦定理得,sinA•cosC+sinC•cosA=2sinB•cosB.
∴sin(A+C)=2sinBcosB,
∵sin(A+C)=sinB≠0,∴cosB=$\frac{1}{2}$,
由0<B<π得,B=$\frac{π}{3}$;
(2)∵b=2,B=$\frac{π}{3}$,
∴由余弦定理得,b2=a2+c2-2accosB,
则4=a2+c2-ac,
又a+c=$\sqrt{10}$,则a2+c2=(a+c)2-2ac=10-2ac,
代入上式解得,ac=2,
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.

点评 本题考查正弦、余弦定理,两角和的正弦公式,三角形的面积公式,以及整体代换求值,注意内角的范围,属于中档题.

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