Question

10．已知如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，且PA=AD=1，AB=2，∠PAB=120°，∠PBC=90°．
（1）求证：平面PAD⊥平面PAB；
（2）求三棱锥D-PAC的体积；
（3）求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知条件推导出AB⊥BC，PB⊥BC，由此能证明平面PAD⊥平面PAB．
（2）以A为原点，以平面ABP内过点A作AB的垂线为x轴，AB为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，由V_D-PAC=V_P-ADC，利用等积法能求出三棱锥D-PAC的体积．
（3）求出$\overrightarrow{PC}$和平面ABCD的法向量，由此利用向量法能求出直线PC与平面ABCD所成角的正弦值．

解答 （1）证明：∵四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，∴AB⊥BC，
∵∠PBC=90°，∵PB⊥BC，
∵AB∩PB=B，∴BC⊥平面PAB，
∵AD∥BC，∴AD⊥平面PAB，
∵AD?平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB．
（2）解：以A为原点，以平面ABP内过点A作AB的垂线为x轴，AB为y轴，AD为z轴，
建立空间直角坐标系，
由已知得P（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），A（0，0，0），
$\overrightarrow{AP}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}，-\frac{1}{2}，0$），平面ADC的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
P到平面ADC的距离h=$\frac{|\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
S_△ADC=$\frac{1}{2}×2×1$=1，
∴三棱锥D-PAC的体积：
V_D-PAC=V_P-ADC=$\frac{1}{3}×h×{S}_{△ADC}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
（3）解：P（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），C（0，2，1），$\overrightarrow{PC}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{5}{2}$，1），
平面ABCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
设直线PC与平面ABCD所成角的为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{PC}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{PC}|}$|=|$\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{25}{4}+1}}$|=$\frac{\sqrt{6}}{8}$．
∴直线PC与平面ABCD所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{8}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．