Question

6．如图，四棱锥P-ABCD中，△PAB是正三角形，四边形ABCD是矩形，且面PAB⊥面ABCD，PA=1，PC=2．
（Ⅰ） 若点E是PC的中点，求证：PA∥面BDE；
（Ⅱ） 若点F在线段PA上，且$PF=\frac{1}{3}PA$，求三棱锥B-AFD的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证PA∥面BDE，可在平面BDE中找到一条直线与PA平行，则连接AC，设AC∩BD=O，再连结OE，可得
EO∥PA，由此结合线面平行的判定得答案；
（Ⅱ）由△PAB是正三角形，可取AB的中点M，证得PM⊥面ABCD，作FN∥PM交AB于点N，可得FN⊥面ABCD，并同时求出FN，然后求出三角形ABD的面积，把三棱锥B-AFD的体积转化为F-ABD的体积，代入棱锥的体积公式得答案．

解答 （Ⅰ）证明：如图，
连接AC，设AC∩BD=O，
∵点E是PC的中点，∴EO∥PA，
又EO?面BDE，PA?面BDE，∴PA∥面BDE；
（Ⅱ）解：∵PA=PB=AB=1，取AB的中点M．
∴PM⊥AB，且$PM=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵面PAB⊥面ABCD，面PAB∩面ABCD=AB，∴PM⊥面ABCD，
作FN∥PM交AB于点N，∴FN⊥面ABCD．
∵$PF=\frac{1}{3}PA$，∴$FN=\frac{2}{3}PM=\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∵四边形ABCD是矩形，∴BC⊥面PAB，则△PBC为直角三角形，
又PC=2，可得BC=$\sqrt{3}$．
∴${V}_{B-AFD}={V}_{F-ABD}=\frac{1}{3}{S}_{ABD}•FN$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{1}{6}$．

点评 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．