Question

15．对于任意实数x不等式e^x-ax-b≥0恒成立，则ab的最大值为（　　）

• A． $\sqrt{e}$
• B． e²
• C． e
• D． $\frac{e}{2}$

Answer 1

分析 设函数f（x）=e^x-ax-b，则f（x）≥0恒成立，求出函数的导数，分别讨论a=0，a＜0，a＞0的情况，从而得出ab的最大值．

解答 解：设函数f（x）=e^x-ax-b，则f（x）≥0恒成立?f（x）_min≥0恒成立．
由于f′（x）=e^x-a，
若a=0，则f（x）=e^x-b≥-b≥0，
得b≤0，此时ab=0；
若a＜0，则f′（x）＞0，函数单调增，此时f（-∞）→-∞，不可能恒有f（x）≥0．
若a＞0，则得极小值点x=lna，由f（lna）=a-alna-b≥0，得b≤a（1-lna）
ab≤a²（1-lna）=g（a）
现求g（a）的最小值：由g'（a）=2a（1-lna）-a=a（1-2lna）=0，得极小值点a=${e}^{\frac{1}{2}}$
g（${e}^{\frac{1}{2}}$）=$\frac{e}{2}$
所以ab的最大值为$\frac{e}{2}$，
故选：D．

点评 本题考查函数的单调性，导数的应用，渗透了分类讨论思想，是一道综合题．