Question

8．已知函数f（x）=ax³+bx²+cx的导函数为h（x），f（x）的图象在点（-2，f（-2））处的切线方程为3x-y+4=0，且h′（-$\frac{2}{3}$）=0，又直线y=x是函数g（x）=kxe^x的图象的一条切线
（1）求函数f（x）的解析式及k的值．
（2）若f（x）≤g（x）-m+1对于任意x∈[0，+∞）恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据导数的几何意义，以及切线方程，建立方程关系，即可求出a，b，c的取值，及k的值；
（2）将不等式f（x）≤g（x）-m+1对于任意x∈[0，+∞）恒成立，进行参数分离，利用导数求函数最值，即可求实数m的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=ax³+bx²+cx，
∴h（x）=f′（x）=3ax²+2bx+c，h′（x）=6ax+2b，
∵h′（-$\frac{2}{3}$）=0，∴6a•（-$\frac{2}{3}$）+2b=0，即b=2a，①
∵f（x）的图象在点（-2，f（-2））处的切线方程为3x-y+4=0，
∴当x=-2时，f（-2）=-2，且切线斜率f′（-2）=3，
则f（-2）=-8a+4b-2c=-2，②，
f′（-2）=12a-4b+c=3，③，
联立解得a=$\frac{1}{2}$，b=1，c=1，即 f（x）=$\frac{1}{2}$x³+x²+x，
∵直线y=x是函数g（x）=kxe^x的图象的一条切线．
∴函数在原点处的切线斜率为1，
∵g′（x）=k（e^x+xe^x），
∴g′（0）=k=1．
（2）若f（x）≤g（x）-m+1对于任意x∈[0，+∞）恒成立，
则等价为$\frac{1}{2}$x³+x²+x≤xe^x-m+1对于任意x∈[0，+∞）恒成立，
即m≤-$\frac{1}{2}$x³-x²-x+xe^x+1=x（e^x-$\frac{1}{2}$x²-x+1）+1恒成立，
设m（x）=x（e^x-$\frac{1}{2}$x²-x+1），再令p（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²-x+1，
p′（x）=e^x-x-1，
由e^x-x-1的导数为e^x-1≥0（x≥0），即有p′（x）在[0，+∞）递增，
即有p′（x）≥p′（0）=0，p（x）在[0，+∞）递增，
p（x）≥0，又x≥0，则m（x）≥0恒成立，
即有m-1≤0，解得m≤1．

点评 本题主要考查导数的几何意义，以及利用导数求函数的最值，求函数的导数，将不等式恒成立转化为求函数最值问题是解决本题的关键．运算量大，综合性较强．