在数1和100之间插入n个实数.使得这n+2个数构成递增的等比数列.将这n+2个数的乘积记作Tn.再令an=lgTn.n≥1．(1)求数列{an}的通项公式,(2)设bn=(-1)n-1$\frac{2{a} {2n}}{{a} {2n-1}{a} {2n+1}}$.设数列{bn}的前n项和为Sn.Tn=Sn-$\frac{1}{{S} {n}}$.求Tn的最大项和最小项� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作T_n，再令a_n=lgT_n，n≥1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=（-1）^n-1$\frac{2{a}_{2n}}{{a}_{2n-1}{a}_{2n+1}}$，设数列{b_n}的前n项和为S_n，T_n=S_n-$\frac{1}{{S}_{n}}$，求T_n的最大项和最小项．

分析（1）由题意，数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作T_n，由等比数列的性质易得T_n=${100}^{\frac{n+2}{2}}$，代入a_n=lgT_n，求数列{a_n}的通项公式．
（2）求出b_n的表达式，讨论n为奇数和偶数对应的前n项和为S_n，即可求T_n的最大项和最小项．

解答解：（1）∵数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作T_n，
∴由等比数列的性质，序号的和相等，则项的乘积也相等知T_n=${100}^{\frac{n+2}{2}}$，
又a_n=lgT_n，（n∈N*），
∴a_n=lgT_n=lg${100}^{\frac{n+2}{2}}$=lg10ⁿ⁺²=n+2．
（2）b_n=（-1）^n-1$\frac{2{a}_{2n}}{{a}_{2n-1}{a}_{2n+1}}$=（-1）^n-1•$\frac{{a}_{2n-1}+{a}_{2n+1}}{{a}_{2n-1}•{a}_{2n+1}}$=（-1）^n-1•（$\frac{1}{{a}_{2n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{2n-1}}$），
当n=2k时，S_n=1+$\frac{1}{3}-（\frac{1}{3}+\frac{1}{5}）$+（$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{7}$）+…+（$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{1}{2n+3}$）=1-$\frac{1}{2n+3}$=$\frac{2n+2}{2n+3}$，
当n=2k-1时，S_n=S_2K-b_n+1=1+$\frac{1}{2n+3}$=$\frac{2n+4}{2n+3}$，
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2n+2}{2n+3}，}&{n为偶数}\\{\frac{2n+4}{2n+3}，}&{n为奇数}\end{array}\right.$，
则当n为偶数时，T_n=S_n-$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2n+2}{2n+3}-\frac{2n+3}{2n+2}$=$\frac{-4n-5}{（2n+3）（2n+2）}$为减函数，∴最大值为${T}_{1}=-\frac{9}{20}$，
当n为奇数时，T_n为增函数，最小值为T₁=$\frac{11}{30}$．