Question

13．已知函数y=3$\sqrt{x-5}$+4$\sqrt{6-x}$，则函数y的值域为[3，6]．

Answer 1

分析 求出函数的定义域和函数的导数，研究函数的单调性和极值即可得到结论．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{x-5≥0}\\{6-x≥0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x≥5}\\{x≤6}\end{array}\right.$，即5≤x≤6，即函数的定义域为[5，6]，
函数的导数y′=$\frac{3}{2\sqrt{x-5}}$-$\frac{2}{\sqrt{6-x}}$=$\frac{3\sqrt{6-x}-4\sqrt{x-5}}{2\sqrt{x-5}•\sqrt{6-x}}$，
由y′=0，得3$\sqrt{6-x}$=4$\sqrt{x-5}$，
平方得9（6-x）=16（x-5），
即x=$\frac{134}{25}$=5.36，
由y′＞0得5＜x＜$\frac{134}{25}$，此时单调递增，
由y′＜0得$\frac{134}{25}$＜x＜6，此时单调单调递减，
故当x=$\frac{134}{25}$时，函数取得极大值，也是最大值，此时y=3$\sqrt{5.36-5}$+4$\sqrt{6-5.36}$=3$\sqrt{0.36}$+4$\sqrt{0.64}$=3×0.6+4×0.8=1.8+3.2=5，
当x=5时，y=4$\sqrt{6-5}$=4，当x=6时，y=3．
即函数的最小值为3，
则函数的值域为[3，6]，
故答案为：[3，6]

点评 本题主要考查函数值域的求解，求函数的导数，利用函数单调性和最值之间的关系是解决本题的关键．