Question

16．若a≥b≥c＞0，求证：a^ab^bc^c≥（abc）${\;}^{\frac{a+b+c}{3}}$．

Answer 1

分析 通过a≥b≥c＞0可知lga≥lgb≥lgc，利用排列不等式、相加、整理即得结论．

解答 证明：∵a≥b≥c＞0，
∴lga≥lgb≥lgc，
根据排序不等式可知：alga+blgb+clgc≥blga+clgb+algc，
alga+blgb+clgc≥clga+algb+blgc，
alga+blgb+clgc=alga+blgb+clgc，
以上三式相加的：3（alga+blgb+clgc）≥（a+b+c）（lga+lgb+lgc），
∴alga+blgb+clgc≥$\frac{a+b+c}{3}$（lga+lgb+lgc），
∴lg（a^ab^bc^c）≥$\frac{a+b+c}{3}$lg（abc），
∴a^ab^bc^c≥（abc）${\;}^{\frac{a+b+c}{3}}$．

点评 本题考查不等式的证明，利用对数的性质及排列不等式是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．