Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动．
（1）证明：D₁E⊥A₁D；
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD₁的距离．

Answer 1

分析：（1）建立如图的坐标系，则

DA1

=(1，0，1)，设E（1，t，0），则

D1E

=(1，t，-1)，通过向量的数量积为0，计算可得D₁E⊥A₁D；
（2）当E为AB的中点时，E（1，1，0），

D1E

=(1，1，-1)，求出平面ACD₁的一个法向量，最后利用点到面的距离公式即可求点E到面ACD₁的距离．

解答：解：（1）分别以DA、DC、DD₁为x、y、z轴，建立如图的坐标系，则

DA1

=(1，0，1)，设E（1，t，0），
所以

D1E

=(1，t，-1)，

DA1

•

D1E

=1-1=0，
∴D₁E⊥A₁D；
（2）当E为AB的中点时，E（1，1，0），

D1E

=(1，1，-1)，
设平面ACD₁的法向量是

n

=(1，y，z)，
求出

AD1

=(-1，0，1)，

AC

=(-1，2，0)，由

n

•

AD1

=0，

N

•

AC

=0，得

n

=(1，

1

2

，1)
∵

D1E

=（1，1，-1）
由点到平面的距离公式，得d=

| n • D1E |

| n |

=

|1×1+ 1 2 ×1+1×(-1)|

12+( 1 2 )2+12

=

1

3

，
∴点E到面ACD₁的距离是

1

3

．

点评：本小题主要考查向量语言表述线线的垂直、平行关系、点到平面的距离和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．