题目内容

2.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),给出定义:f′(x)是函数f(x)的导函数,f″(x)是f′(x)的导函数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.某同学经研究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.若f(x)=$\frac{1}{3}$x3-$\frac{1}{2}$x2+3x-$\frac{5}{12}$,根据这一发现,可求得f($\frac{1}{2016}$)+f($\frac{2}{2016}$)+…+f($\frac{2015}{2016}$)=2015.

分析 根据函数f(x)的解析式求出f′(x)和f″(x),令f″(x)=0,求得x的值,由此求得函数f(x)的对称中心,得到f(1-x)+f(x)=2,即可得出.

解答 解:依题意,得:f′(x)=x2-x+3,∴f″(x)=2x-1.
由f″(x)=0,即2x-1=0.
∴x=$\frac{1}{2}$,
∴f($\frac{1}{2}$)=1,
∴f(x)=$\frac{1}{3}$x3-$\frac{1}{2}$x2+3x-$\frac{5}{12}$的对称中心为($\frac{1}{2}$,1)
∴f(1-x)+f(x)=2,
∴f($\frac{1}{2016}$)+f($\frac{2}{2016}$)+…+f($\frac{2015}{2016}$)=2015,
故答案为:2015.

点评 本题主要考查函数与导数等知识,考查化归与转化的数学思想方法,考查化简计算能力,函数的对称性的应用,属于中档题.

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