题目内容

10.实数x,y满足x2+y2-2x-2y+1=0,则$\frac{y-4}{x-2}$的最小值为(  )
A.$-\frac{3}{4}$B.$-\frac{4}{3}$C.$\frac{3}{4}$D.$\frac{4}{3}$

分析 整理方程可知,方程表示以点(1,1)为圆心,以1为半径的圆,设$\frac{y-4}{x-2}$=k,即kx-y-2k+4=0,进而根据圆心(1,1)到kx-y-2k+4=0的距离为半径时直线与圆相切,斜率取得最大、最小值,即可得出结论.

解答 解:方程x2+y2-2x-2y+1=0表示以点(1,1)为圆心,以1为半径的圆.
设$\frac{y-4}{x-2}$=k,即kx-y-2k+4=0,
由圆心(1,1)到kx-y-2k+4=0的距离为半径时直线与圆相切,斜率取得最大、最小值.
由$\frac{|k-1-2k+4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$1,
解得k=$\frac{4}{3}$.
所以$\frac{y-4}{x-2}$的最小值为$\frac{4}{3}$.
故选:D.

点评 本题主要考查了圆的方程的综合运用.考查了学生转化和化归的思想和数形结合的思想.

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