题目内容

4.若函数f(x)=logax(a>0,a≠1)满足f($\frac{3}{a}$)>f($\frac{5}{a}$),则f(1-$\frac{1}{x}$)>1的解集是($1,\frac{1}{1-a}$).

分析 先由条件f($\frac{3}{a}$)>f($\frac{5}{a}$),得到loga$\frac{3}{a}$>loga$\frac{5}{a}$,从而求出a的取值范围,利用对数函数的单调性化简不等式f(1-$\frac{1}{x}$)>0为分式不等式即可求解.

解答 解:∵满足f($\frac{3}{a}$)>f($\frac{5}{a}$),
∴loga$\frac{3}{a}$>loga$\frac{5}{a}$,则loga3-1>loga5-1,
∴loga3>loga5,则0<a<1,
∴f(1-$\frac{1}{x}$)>1?$lo{g}_{a}(1-\frac{1}{x})>lo{g}_{a}a$,
∴0<1-$\frac{1}{x}$<a,
解得:1$<x<\frac{1}{1-a}$.
∴f(1-$\frac{1}{x}$)>1的解集是($1,\frac{1}{1-a}$).
故答案为:($1,\frac{1}{1-a}$).

点评 本题主要考查对数函数的单调性、不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力与转化思想.属于中档题.

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