题目内容

【题目】已知正项数列{an}满足a1=1,(n+1)a2n+1+an+1an﹣na =0,数列{bn}的前n项和为Sn且Sn=1﹣bn
(1)求{an}和{bn}的通项;
(2)令cn= , ①求{cn}的前n项和Tn
②是否存在正整数m满足m>3,c2 , c3 , cm成等差数列?若存在,请求出m;若不存在,请说明理由.

【答案】
(1)解:∵(n+1)a2n+1+an+1an﹣na =0,∴[(n+1)an+1﹣nan](an+1+an)=0,又an+1+an>0.

∴(n+1)an+1﹣nan=0,解得 =

∴an= a1= ×1=

∴an=

∵数列{bn}的前n项和为Sn且Sn=1﹣bn

∴n≥2时,bn=Sn﹣Sn﹣1=1﹣bn﹣(1﹣bn﹣1),化为:bn= bn﹣1

n=1时,b1=S1=1﹣b1,解得b1=

∴数列{bn}是等比数列,首项与公比都为

∴bn=


(2)解:①cn= =

∴数列{cn}的前n项和Tn= + +…+

= + +…+ +

可得: = +…+ =

可得:Sn=2﹣

②假设存在正整数m满足m>3,c2,c3,cm成等差数列,

则2c3=c2+cm

= + ,化为:2m﹣2=m.

m=4时,满足:2m﹣2=m.

m≥5时,2m﹣2﹣m=(1+1)m﹣2﹣m

=1+ + + +…﹣m

=1+m﹣2+ + +…﹣m

= + +…﹣1>0.

∴m≥5时,2m﹣2﹣m>0,因此2m﹣2=m无解.

综上只有m=4时,满足m>3,c2,c3,cm成等差数列.


【解析】(1)(n+1)a2n+1+an+1an﹣na =0,因式分解为[(n+1)an+1﹣nan](an+1+an)=0,又an+1+an>0.可得 = .利用an= a1,可得an.数列{bn}的前n项和为Sn且Sn=1﹣bn.n≥2时,bn=Sn﹣Sn﹣1,化为:bn= bn﹣1.n=1时,b1=S1=1﹣b1,解得b1.利用等比数列的通项公式即可得出bn.(2)①cn= = ,利用错位相减法与等比数列的求和公式即可得出.

②假设存在正整数m满足m>3,c2,c3,cm成等差数列,2c3=c2+cm,代入化为:2m﹣2=m.对m分类讨论即可得出.

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